三維空間定位準(zhǔn)確度定義與測量說明
王正平
美國光動(dòng)公司
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I. 簡介
20 年前，大型機(jī)器的主要定位精度為絲桿的螺距誤差及熱膨脹誤差，但直至今日上述的大部份誤差已藉由線性編碼器來減少與補(bǔ)償，因此機(jī)器的誤差轉(zhuǎn)而變成以垂直度誤差與直線度誤差為主要原因，然而為了達(dá)到三維空間定位精度，垂直度誤差與直線度誤差的測量與補(bǔ)償則變得更為重要。
II. 機(jī)床定位誤差
就三軸機(jī)器而言，每軸共有六項(xiàng)誤差，或換句話說，三軸共有十八誤差加上三項(xiàng)垂直度誤差，這二十一項(xiàng)剛體誤差可以表示如下 [1]:
直線位移誤差 : Dx(x), Dy(y), 及 Dz(z)
垂直直線度誤差 : Dy(x), Dx(y), 及 Dx(z)
水平直線度誤差 : Dz(x), Dz(y), 及 Dy(z)
橫轉(zhuǎn)度誤差 : Ax(x), Ay(y), 及 Az(z)
俯仰度誤差 : Ay(x),Ax(y), 及 Ax(z)
偏搖度誤差 : Az(x), Az(y), 及 Ay(z)
垂直度誤差 : Øxy, Øyz, Øzx,
其中 D 為直線誤差，下標(biāo)表示位移方向，位置坐標(biāo)為函數(shù)中的變量， A 為角度誤差，下標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)方向，位置坐標(biāo)為函數(shù)中的變量。
III. 現(xiàn)有的空間精度定義
對(duì)于三軸機(jī)器而言，主要的定位誤差為各軸的位移誤差 Dx(x), Dy(y), Dz(z) ，空間誤差則定義為這些位移誤差和的平方根，因此可表示如下式：
空間誤差 = sqrt {[Max Dx(x)-Min Dx(x)]²
+ [Max Dy(y)-Min Dy(y)]² + [Max Dz(z)- Min Dz(z)]²}.
上述的定義當(dāng)主要誤差為三項(xiàng)位移誤差 ( 或絲桿螺距誤差 ) 時(shí)是正確的，但是近年來的機(jī)器，其主要誤差為直線度誤差與垂直度誤差，遠(yuǎn)大于直線位移誤差，因此上述的定義并非絕對(duì)符合 .
IV. 空間精度的新定義
各軸向的定位誤差 Dx(x,y,z), Dy(x,y,z) 及 Dx(x,y,z) 為位移誤差與直線度誤差的和可表示如下式：
Dx(x,y,z) = Dx(x) + Dx(y) + Dx(z),
Dy(x,y,z) = Dy(x) + Dy(y) + Dy(z),
Dz(x,y,z) = Dz(x) + Dz(y) + Dz(z).
空間誤差為這些總誤差的均方根，如下式所示：
空間誤差 = sqrt {[Max Dx(x,y,z)-Min Dx(x,y,z)]²
+ [Max Dy(x,y,z)-Min Dy(x,y,z)]² + [Max
Dz(x,y,z)- Min Dz(x,y,z)]²}.
因此使用一般的激光干涉儀來測量這些直線度與垂直度誤差是相當(dāng)耗時(shí)的，而在 ASME B5.54[2] 或 ISO 230-6[3] 標(biāo)準(zhǔn)中所列的體對(duì)角線位移測量則是種快速的空間誤差檢驗(yàn)方法。
V. 體對(duì)角線位移測量
空間定位誤差包含三項(xiàng)位移誤差、六項(xiàng)直線度誤差、三項(xiàng)垂直度誤差與一些角度誤差，將會(huì)在四條體位移對(duì)角線誤差中解出后獲得 [4] ，這是一種較佳且有效的空間誤差測量方法，空間誤差可定義為 [Max Dr(x,y,z) – Min Dr(x,y,z)] ，其中 Dr(x,y,z) 為對(duì)角線位移誤差。
B5.54 與 ISO230-6 機(jī)床性能測量標(biāo)準(zhǔn)中的介紹，使得以激光體對(duì)角線位移測量所進(jìn)行的空間誤差快速檢驗(yàn)變得更為普及， B5.54 體對(duì)角線位移測試已經(jīng)為波音飛機(jī)公司及其它公司廣為使用多年，并獲得良好結(jié)果與成效。
VI. 分段對(duì)角線或向量測量
當(dāng)機(jī)器本身具有較小的體對(duì)角線位移誤差時(shí)，空間誤差相對(duì)的亦小，而當(dāng)機(jī)器本身具有較大的體對(duì)角線位移誤差時(shí)，并無足夠的數(shù)據(jù)可用來計(jì)算出造成較大空間誤差的誤差組成。使用光動(dòng)公司的激光多普勒位移量尺（ LDDM ）來進(jìn)行分段對(duì)角線或向量測量，可由 4 條分段對(duì)角線測量中采集到 12 筆數(shù)據(jù) [4,5] ，因此三項(xiàng)位移誤差、 6 項(xiàng)直線度誤差與 3 項(xiàng)垂直度誤差可由此計(jì)算出，所測得的誤差可用來補(bǔ)償空間定位誤差與改善三維定位精度或空間精度。
VII. 三維格點(diǎn)中的最大誤差
以機(jī)器工作空間 X 、 Y 與 Z 的而言，每一軸分別有 I 、 J 與 K 個(gè)點(diǎn)，可以以 x 軸， i=1,2,....I ； y 軸， j = 1, 2, ...J ；及 z 軸， k =1,2,...K ，三維誤差表具有 I*J*K 個(gè)點(diǎn)，在每一點(diǎn)皆有分別代表在 x 軸、 y 軸及 z 軸上的誤差， dx = Dx(i,j,k), ， dy = Dy(i,j,k) 與 dz =Dz(i,j,k) 。簡單從 Fanuc 取得的格式：其中 I = 3, ， J = 4 ，與 K = 3 ，及 l =I*J*K=36 為最大行數(shù)。 A1 = x 軸， A2 = y 軸， A3 = z 軸及靠近 P 的數(shù)為誤差值 [ ] 。
N100001A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=1, k=1, l=1,
N100002A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=1, k=1, l=2,
N100003A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=1, k=1, l=3,
N100004A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=2, k=1, l=4,
N100005A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=2, k=1, l=5,
N100006A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=2, k=1, l=6,
N100007A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=3, k=1, l=7,
N100008A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=3, k=1, l=8,
N100009A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=3, k=1, l=9,
N100010A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=4, k=1, l=10,
N100011A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=4, k=1, l=11,
N100012A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=4, k=1, l=12,
N100013A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=1, k=2, l=13,
N100014A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=1, k=2, l=14,
N100015A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=1, k=2, l=15,
………………………………….. …………………..
………………………………….. …………………..
N100034A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=4, k=3, l=34,
N100035A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=4, k=3, l=35,
N100036A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=4, k=3, l=36,
空間誤差可定義為在三維格點(diǎn)中最大的誤差，可表示如下式：
空間誤差 = Max sqrt[Dx(i,j,k)* Dx(i,j,k) + Dy(i,j,k)* Dy(i,j,k)
+ Dz(i,j,k)*Dz(i,j,k)].
由向量方法所測得的誤差可用來產(chǎn)生三維誤差表并計(jì)算出最大誤差。
VIII. 總結(jié)與討論
20 年前，機(jī)床最大定位誤差為絲桿的螺距誤差與熱膨脹誤差，空間誤差被定義為各軸位移誤差和的均方根是正確的，但現(xiàn)今大部分機(jī)器的主要誤差為直線度誤差與垂直度誤差，空間誤差則應(yīng)被定義為在 x 、 y 及 z 方向上所有誤差和的均方根。
在 ASME B5.54 或 ISO 230-6 機(jī)床性能測量所提到的激光體對(duì)角線測量是空間誤差最快的檢驗(yàn)方式，體對(duì)角線已被多家航天公司及其它公司采用多年，并得到良好的結(jié)果與成效。分段體對(duì)角線或向量方法對(duì)于計(jì)算出位移誤差、直線度誤差與垂直度誤差是非常有效且快速的方法 [4,5] 。
在三維格點(diǎn)中的最大誤差對(duì)于機(jī)床使用者計(jì)算出工件能加工到多準(zhǔn)確及何處是機(jī)器的最理想加工點(diǎn)是非常有幫助的。
參考文獻(xiàn)
[1] Schultschik, R., The components of the volumetric accuracy, Annals of the CIRP,
Vol.25, No.1, pp223-228, 1977.
[2] Methods for Performance Evaluation of Computer Numerically Controlled
Machining Centers, An American National Standard , ASME B5.54-1992
by the American Society of Mechanical Engineers, p69, 1992.
[3] ISO 230-6: 2002 Test code for machine tools – Part 6: Determination of
positioning accuracy on body and face diagonals (Diagonal displacement tests)”, an
International Standard, by International Standards Organization, 2002.
[4] Wang, C. and Liotto, D. A theoretical analysis of 4 body diagonal displacement
measurement and sequential step diagonal measurement ,Proceedings of the
LAMDAMAP 2003 Conference, Huddersfield , England July 3-5, 2003 .
[5] Wang, C., Laser Vector measurement Technique for the determination and
compensation of volumetric positioning errors. Part I: Basic theory, Review
of Scientific Instruments, Vol. 71, No 10, pp 3933-3937, 2000.
3DvolposAccuracy-cs.doc 7/31/2003
